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Aufgabe 1 vom Mathe-Abitur 1983/84 (DDR)

Gegeben ist die Funktion f durch $y = f (x) = x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (x ∈ R)$

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f!

0 = x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}

0 = x^{2} (1 - \frac{1}{3} x)

Beide Faktoren = 0 setzen: x_{1} = 0, x_{2} = 3

b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f! Untersuchen Sie die Art dieser Extrema!

Ableitungen: f^{'} (x) = 2 x - x^{2} | f^{″} (x) = 2 - 2 x

Nullstellen der 1. Ableitung: 0 = x (2 - x)

x_{1} = 0, x_{2} = 2 | y_{1} = 0, y_{2} = \frac{4}{3}

f^{″} (0) = 2 | > 0 also Minimum im Punkt (0, 0)

f^{″} (2) = - 2 | < 0 also Maximum im Punkt (2, 4/3)

c) Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall −2 ≤ x ≤ 4!

d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion f und der x-Achse vollständig begrenzt wird!

\int_{a}^{b} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} ⅆ x = {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{12}]}_{a}^{b}

Betrag des Flächenstückes 0 bis 3

{[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{12}]}_{0}^{3} = (\frac{27}{3} - \frac{81}{12}) - (0 - 0) = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25 FE

Betrag der Flächenstücke -2 bis 3 und 3 bis 4

{[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{12}]}_{−2}^{3} + (- 1) {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{12}]}_{3}^{4} = 6.25 + 2.25 = 8.5 FE